Des nombres pas premiers - Corrigé

Énoncé

Justifier que les nombres suivants ne sont pas premiers.

1. \(A=9^n-1\) avec \(n \in \mathbb{N}\)

2. \(B=n^2-23n+132\) avec \(n \geqslant 14\)

3. \(C=10^{2024}-1\)

4.

Solution

1. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , on a :
\(A=9^n-1=(3^2)^n-1=(3^n)^2-1=(3^n+1)(3^n-1)\) .

• Si \(n=0\) , alors \(A=9^0-1=1-1=0\) n'est pas premier.
• Si \(n \geqslant 1\) , alors \(3^n+1 \geqslant 3^1+1=4\) et \(3^n-1 \geqslant 3^1-1=2\) , donc \(A\) s'écrit comme produit de deux entiers supérieurs ou égaux à \(2\) , donc \(A\) n'est pas premier.

2. Soit \(n \geqslant 14\) un entier.
Le discriminant du polynôme \(x^2-23x+132\) est \(\Delta=(-23)^2-4 \times 1 \times 132=1\) .
Comme \(\Delta=1>0\) , ce polynôme possède deux racines réelles données par
\(\begin{align*}x_1=\frac{-(-23)-\sqrt{1}}{2 \times 1}=\frac{23-1}{2}=\frac{22}{2}=11\end{align*}\)  
et  \(\begin{align*}x_2=\frac{-(-23)+\sqrt{1}}{2 \times 1}=\frac{23+1}{2}=\frac{24}{2}=12\end{align*}\)  
et l'on en déduit que \(B=n^2-23n+132=(n-11)(n-12)\) .
Comme \(n \geqslant 14\) , on en déduit que \(n-11 \geqslant 3\) et \(n-12 \geqslant 2\) .
Ainsi, \(B\) s'écrit comme produit de deux entiers supérieurs ou égaux à \(2\) , donc \(B\) n'est pas premier.

3. Comme \(10 \equiv 1 \ [9]\) , on a \(10^{2024} \equiv 1^{2024} \equiv 1 \ [9]\) .
On en déduit que \(C \equiv 10^{2024}-1 \equiv 0 \ [9]\) , autrement dit \(C\) est divisible par \(9\) , donc \(C\) n'est pas premier.

4. Comme \(10 \equiv -1 \ [11]\) , on a \(10^{2025} \equiv (-1)^{2025} \equiv -1 \ [11]\) .
On en déduit que \(D \equiv 10^{2025}+1 \equiv 0 \ [11]\) , autrement dit \(D\) est divisible par \(11\) , donc   \(D\) n'est pas premier.